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第一章 函数1

一、本章教学要求1

二、本章内容提要1

（一）实数集1

（二）函数2

（三）函数的基本性质2

（四）反函数与复合函数4

（五）初等函数4

三、典型例题解析7

题型一 求函数的定义域7

题型二 如何判断两函数是否为同一函数8

题型三 判断函数的奇偶性9

题型四 一元函数周期性的讨论10

题型五 讨论函数的单调性10

题型六 反函数的求法11

题型七 求复合函数的表达式12

题型八 求抽象函数的表达式13

四、历年考研真题评析14

五、同步自测题及参考答案16

六、本章习题全解19

第二章 极限与连续30

一、本章教学要求30

二、本章内容提要30

（一）概念30

（二）重要定理与公式32

三、典型例题解析34

题型一 数列极限问题34

题型二 求函数的左、右极限并讨论极限的存在性的几种情况38

题型三 利用极限性质和运算法则求极限42

题型四 利用两个重要极限求极限43

题型五 利用等价无穷小代换求极限44

题型六 已知分式函数的极限，求所含待定常数45

题型七 利用连续的定义讨论函数的连续性46

题型八 判断函数的间断点及其类型46

题型九 求分段函数连续的条件47

题型十 应用零点定理证明方程根的存在性48

四、历年考研真题解析48

五、同步自测题及参考答案62

六、本章习题全解64

第三章 导数与微分87

一、本章教学要求87

二、本章内容提要87

（一）掌握导数概念及其几何意义87

（二）熟练掌握导数的计算方法89

（三）熟练掌握微分概念、性质及其在近似计算中的应用90

（四）掌握高阶导数的概念及计算方法92

三、典型例题解析93

题型一 利用定义求函数的导数以及与导数概念相关的问题93

题型二 导数几何意义的应用99

题型三 利用导数的运算法则求导102

题型四 与微分概念有关的问题107

题型五 利用定义求函数的高阶导数109

四、历年考研真题解析113

五、同步自测题及参考答案120

六、本章习题全解123

第四章 中值定理与导数应用144

一、本章教学要求144

二、本章内容提要144

（一）微分中值定理144

（二）洛必达法则145

（三）函数的单调性与极值、最值146

（四）曲线的凹向与拐点146

（五）函数作图146

（六）边际分析147

（七）弹性分析148

三、典型例题解析150

题型一 利用罗尔中值定理证明问题150

题型二 利用拉格朗日中值定理证明问题151

题型三 方程的根的问题152

题型四 利用导数证明不等式153

题型五 利用洛必达法则求极限154

题型六 利用导数的性质与微分中值定理讨论函数的单调性155

题型七 利用导数的性质求极值156

题型八 利用函数的单调性、连续性求函数的最值156

题型九 利用需求弹性分析经济问题156

题型十 求解经济现象中的最值问题158

四、历年考研真题评析160

五、同步自测题及参考答案169

六、本章习题全解171

第五章 不定积分196

一、本章教学要求196

二、本章内容提要196

（一）不定积分的概念和性质196

（二）换元积分法及常用公式197

（三）分部积分法及常见类型198

（四）三类函数的积分方法199

三、典型例题解析199

题型一 利用原函数与不定积分的定义求解问题199

题型二 分段函数的积分200

题型三 利用第一类换元积分法（凑微分法）求积分201

题型四 利用第二类换元积分法求积分204

题型五 利用分部积分法求积分206

题型六 有理函数的积分209

题型七 三角函数有理式的积分212

四、历年考研真题评析213

五、同步自测题及参考答案215

六、本章习题全解217

第六章 定积分244

一、本章教学要求244

二、本章内容提要244

（一）定积分概念244

（二）定积分的基本性质245

（三）微积分基本定理245

（四）定积分的计算246

（五）反常积分246

（六）定积分的应用247

三、典型例题解析248

题型一 利用定积分的定义求和式极限248

题型二 定积分性质的利用249

题型三 变上限定积分的导数及其应用250

题型四 变上限积分函数的性态分析252

题型五 定积分的计算254

题型六 分段函数（含绝对值的函数）的定积分的计算258

题型七 对称区间上定积分的计算260

题型八 证明定积分等式261

题型九 反常积分的计算262

题型十 定积分的几何应用266

题型十一 定积分的经济应用268

四、历年考研真题评析269

五、同步自测题及参考答案281

六、本章习题全解284

第七章 无穷级数310

一、本章教学要求310

二、本章内容提要310

（一）无穷级数收敛及其一般项、部分和、收敛与发散的概念310

（二）无穷级数的基本性质及收敛的必要条件310

（三）几何级数、p-级数及调和级数的敛散性判别条件311

（四）正项级数的比较判别法、比值判别法及根值判别法311

（五）交错级数的莱布尼茨判别法312

（六）绝对收敛与条件收敛的概念及判别方法312

（七）幂级数的收敛半径与收敛域的概念312

（八）初等函数的幂级数展开式313

三、典型例题解析314

题型一 利用n项部分和判别级数的敛散性并求和314

题型二 用级数的基本性质判别级数敛散性316

题型三 用级数收敛的必要条件判断级数发散316

题型四 利用正项级数的敛散性判别法判别级数的敛散性317

题型五 利用任意项级数敛散性判别法判别级数的敛散性318

题型六 求幂级数收敛半径及收敛域320

题型七 函数展开为幂级数与幂级数求和的方法322

四、历年考研真题解析324

五、同步自测题及参考答案332

六、本章习题全解335

第八章 多元函数376

一、本章教学要求376

二、本章内容提要376

（一）空间解析几何简介376

（二）多元函数的概念377

（三）多元函数的极限与连续（以二元函数为例讨论）378

（四）偏导数和全微分379

（五）多元复合函数的求导法则381

（六）隐函数微分法381

（七）高阶偏导数382

（八）二元函数的极值382

（九）二重积分383

三、典型例题解析385

题型一 求二元函数的定义域385

题型二 求函数的极值385

题型三 求二元函数的极限386

题型四 证明二元函数的极限不存在386

题型五 求多元函数的偏导数与全微分387

题型六 讨论多元函数的连续性、可导性、可微性与偏导数的连续性388

题型七 求解多元复合函数的偏导数和全微分390

题型八 多元函数的高阶偏导数393

题型九 求解由一个方程确定的隐函数的导数或偏导数395

题型十 由方程组确定的隐函数398

题型十一 已知二元函数的偏导数或全微分，求二元函数398

题型十二 无条件极值的求解399

题型十三 条件极值的求解401

题型十四 二元函数最大、最小值的求解403

题型十五 比较两个二重积分的大小，计算或估计二重积分的值404

题型十六 利用直角坐标计算二重积分405

题型十七 二重积分换积分次序408

题型十八 利用极坐标计算二重积分409

题型十九 无界区域上二重积分的计算412

题型二十 二重积分的应用413

四、历年考研真题解析414

五、同步自测题及参考答案426

六、本章习题全解430

第九章 微分方程与差分方程简介459

一、本章教学要求459

二、本章内容小结459

（一）微分方程基本概念459

（二）一阶微分方程459

（三）几种二阶微分方程460

（四）二阶常系数线性微分方程461

（五）差分方程基本概念462

（六）一阶常系数线性差分方程463

三、典型例题解析463

题型一 利用定义确定微分方程的通解，特解463

题型二 可分离变量的微分方程的求解464

题型三 齐次微分方程的求解466

题型四 一阶线性微分方程的求解467

题型五 最简单二阶微分方程的求解469

题型六 不显含未知函数y的二阶微分方程的求解470

题型七 不显含自变量x的二阶微分方程的求解471

题型八 根据二阶常系数线性方程解的结构求解相关题型471

题型九 利用特征根法求解二阶常系数齐次线性微分方程472

题型十 利用待定系数法求解二阶常系数非齐次线性微分方程472

题型十一 利用差分方程的基础概念求解相关题目474

题型十二 一阶常系数差分方程的求解475

四、历年考研真题解析476

五、同步自测题及参考答案484

六、本章习题全解486