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第一部分 基础训练Ⅰ1

第1章 行列式1

1.1 行列式的定义1

1.2 行列式的性质5

1.3 行列式按行(列)展开10

1.4 行列式的计算13

1.5 行列式乘法定理30

习题答案与提示33

2.1 矩阵及其运算36

第2章 矩阵36

2.2 初等变换与初等矩阵50

2.3 矩阵的秩、等价矩阵58

2.4 可逆矩阵66

2.5 一些特殊矩阵77

2.6 分块初等变换、矩阵方程85

习题答案与提示91

第3章 向量与向量空间98

3.1 向量的线性关系98

3.2 向量空间110

3.3 实向量空间的内积与向量的正交性119

习题答案与提示126

第4章 线性方程组129

4.1 线性方程组的解法129

4.2 解的判定138

4.3 解的关系145

习题答案与提示151

第5章 特征值与矩阵的相似154

5.1 特征值和特征向量154

5.2 有关特征值和特征向量的计算159

5.3 相似矩阵165

5.4 相似对角化矩阵170

习题答案与提示185

第6章 二次型190

6.1 化二次型为标准形190

6.2 惯性定理196

6.3 正定二次型和正定矩阵201

习题答案与提示207

第二部分 基础训练Ⅱ211

第7章 多项式211

7.1 整除性211

7.2 因式分解、根216

7.3 整系数多项式222

习题答案与提示225

第8章 向量空间与线性变换228

8.1 向量空间228

8.2 子空间236

8.3 线性变换，线性映射245

8.4 线性变换与线性映射的矩阵256

8.5 线性变换的特征值和特征向量268

习题答案与提示276

9.1 欧氏空间282

第9章 欧氏空间、酉空间282

9.2 酉空间291

9.3 正规变换、正规矩阵297

9.4 埃尔米特型、埃尔米特矩阵314

9.5 对偶空间、双线性型323

习题答案与提示327

第10章 若尔当标准形335

10.1 零化多项式与极小多项式335

10.2 若尔当标准形341

10.3 应用352

习题答案与提示357

第11章 近世代数初步363

11.1 近世代数初步363

第三部分 专题选讲372

第1讲 中国剩余定理的应用372

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用377

第3讲 加项行列式的计算技巧387

第4讲 比内-柯西公式的应用394

第5讲 矩阵的等价标准形的应用402

第6讲 矩阵的满秩分解414

第7讲 微小摄动法的应用421

第8讲 方阵的迹427

第9讲 方阵的特征多项式与最小多项式434

第10讲 凯莱-哈密顿定理的应用441

第11讲 方阵的特征值和特征向量449

第12讲 舒尔引理的应用460

第13讲 矩阵的若尔当标准形的应用470

第14讲 矩阵可对角化的条件488

第15讲 酉矩阵499

第16讲 埃尔米特矩阵507

常用符号表515