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第一章 绪论1

1 研究对象1

2 误差的来源及其基本概念2

2.1 误差的来源2

2.2 误差的基本概念3

2.3 和、差、积、商的误差7

3 数值计算中的几点注意事项8

习题11

第二章 函数的插值与逼近13

1 引言13

1.1 多项式插值13

1.2 最佳逼近15

1.3 曲线拟合16

2 Lagrange插值16

2.1 线性插值与抛物插值16

2.2 n次Lagrange插值多项式20

2.3 插值余项21

3 迭代插值25

4 Newton插值29

4.1 Newton均差插值公式29

4.2 Newton差分插值公式34

5 Hermite插值39

6 分段多项式插值48

6.1 分段线性插值49

6.2 分段三次Hermite插值52

7 样条插值55

7.1 三次样条插值函数的定义55

7.2 插值函数的构造57

7.3 三次样条插值的算法62

7.4 三次样条插值的收敛性63

8 最小二乘曲线拟合64

8.1 问题的引入及最小二乘原理64

8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合66

8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合69

8.4 多变量的最小二乘拟合70

9 连续函数的最佳平方逼近71

9.1 利用多项式作平方逼近73

9.2 利用正交函数组作平方逼近75

10 富利叶变换及快速富利叶变换76

10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换76

10.2 快速富利叶变换80

习题86

第三章 数值积分与数值微分91

1 数值积分的基本概念91

1.1 数值求积的基本思想92

1.2 代数精度的概念93

1.3 插值型求积公式94

2 等距节点求积公式95

2.1 Newton-Cotes公式95

2.2 复化求积法及其收敛性103

2.3 求积步长的自适应选取107

3 Romberg求积法110

3.1 Romberg求积公式111

3.2 Richardson外推加速技术113

4 Gauss型求积公式117

4.1 Gauss型求积公式的一般理论118

4.2 几种常见的Gauss型求积公式123

5 奇异积分和振荡函数积分的计算128

5.1 奇异积分的计算128

5.2 振荡函数积分的计算131

6 多重积分的计算135

6.1 基本思想136

6.2 复化求积公式137

6.3 Gauss型求积公式139

7 数值微分140

7.1 Taylor级数展开法140

7.2 插值型求导公式143

习题146

第四章 解线性代数方程组的直接法151

1 Gauss消去法151

2 主元素消去法157

2.1 全主元素消去法158

2.2 列主元素消去法161

3 矩阵三角分解法163

3.1 Doolittle分解法（LU分解）163

3.2 列主元素三角分解法168

3.3 平方根法170

3.4 三对角方程组的追赶法173

4 向量范数、矩阵范数及条件数175

4.1 向量和矩阵的范数175

4.2 矩阵条件数及方程组性态180

习题183

第五章 解线性代数方程组的迭代法186

1 Jaeobi迭代法186

2 Gauss-Seidel迭代法191

3 超松弛迭代法203

4 共轭梯度法207

习题213

第六章 非线性方程求根217

1 逐步搜索法及二分法218

1.1 逐步搜索法218

1.2 二分法218

2 迭代法221

2.1 迭代法的算法221

2.2 迭代法的基本理论223

2.3 局部收敛性及收敛阶226

3 迭代收敛的加速230

3.1 松弛法230

3.2 Aitken方法231

4 Newton迭代法234

4.1 Newton迭代法及其收敛性234

4.2 Newton迭代法的修正239

4.3 重根的处理241

5 弦割法与抛物线法244

5.1 弦割法245

5.2 抛物线法247

6 代数方程求根249

6.1 多项式方程求根的Newton法249

6.2 劈因子法251

7 解非线性方程组的Newton迭代法254

习题256

第七章 矩阵特征值和特征向量的计算260

1 乘幂法与反幂法261

1.1 乘幂法261

1.2 幂法的加速技巧268

1.3 反幂法272

2 实对称矩阵的Jacobi方法276

2.1 Jacobi方法277

2.2 Jacobi法的变形284

3 对称矩阵的Givens-Householder方法286

3.1 三对角化过程286

3.2 用二分法求特征值290

3.3 特征向量的计算298

4 QR方法299

4.1 QR算法299

4.2 QR方法的收敛性301

5 矩阵的广义特征值问题301

习题303

第八章 常微分方程数值解法306

1 几种简单的单步法307

1.1 Euler公式307

1.2 向后Euler公式310

1.3 梯形公式312

1.4 改进的Euler公式313

1.5 Euler两步公式及其改进315

2 Runge-Kutta方法318

2.1 Taylor级数法318

2.2 Runge-Kutta方法320

3 单步法的收敛性、相容性和稳定性326

3.1 收敛性326

3.2 相容性329

3.3 稳定性331

4 线性多步法333

4.1 用数值积分方法构造线性多步法333

4.2 用Taylor级数展开构造线性多步法339

5 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法343

5.1 一阶方程组343

5.2 高阶微分方程345

6 刚性方程及方程组348

7 边值问题的数值解法353

7.1 试射法354

7.2 差分法355

习题361

附录366

参考文献377