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第1章 函数与极限1

1.1 集合 映射 函数1

1.1.1 集合1

1.1.2 映射2

1.1.3 函数3

习题1.110

1.2 隐函数 参数方程 极坐标11

1.2.1 隐函数11

1.2.2 参数方程11

1.2.3 极坐标13

习题1.215

1.3 数列的极限16

1.3.1 数列的概念17

1.3.2 数列极限的描述定义17

1.3.3 收敛数列的性质18

1.3.4 数列极限的精确定义19

习题1.321

1.4 函数的极限21

1.4.1 函数极限的描述定义21

1.4.2 函数极限的性质24

1.4.3 函数极限的精确定义24

习题1.427

1.5 无穷小 无穷大 渐近线27

1.5.1 无穷小27

1.5.2 无穷大28

1.5.3 渐近线29

1.5.4 无穷小无穷大的精确定义31

习题1.533

1.6 极限运算法则33

1.6.1 极限的四则运算法则33

1.6.2 复合函数的极限运算法则35

1.6.3 定理的证明37

习题1.638

1.7 极限存在准则与两个重要极限39

1.7.1 夹逼准则及应用39

1.7.2 单调有界准则及应用42

1.7.3 相关结论的证明44

习题1.746

1.8 无穷小的比较47

1.8.1 无穷小的比较的定义47

1.8.2 等价无穷小48

1.8.3 等价无穷小的运算49

习题1.850

1.9 函数的连续性与间断点51

1.9.1 函数的连续性51

1.9.2 函数的间断点53

习题1.955

1.10 连续函数的运算与初等函数的连续性55

1.10.1 连续函数的四则运算55

1.10.2 反函数与复合函数的连续性56

1.10.3 初等函数及其连续性57

习题1.1058

1.11 闭区间上连续函数的性质59

1.11.1 最大值最小值定理59

1.11.2 零点定理与介值定理60

习题1.1161

总习题161

第2章 导数与微分63

2.1 导数63

2.1.1 引例63

2.1.2 导数的概念64

2.1.3 导数的几何意义67

2.1.4 可导与连续的关系68

习题2.169

2.2 函数的求导法则70

2.2.1 导数的四则运算法则70

2.2.2 反函数的求导法则72

2.2.3 复合函数的求导法则73

习题2.276

2.3 高阶导数77

2.3.1 高阶导数的定义77

2.3.2 高阶导数的求导法则79

习题2.380

2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数及相关变化率80

2.4.1 隐函数的导数80

2.4.2 由参数方程确定的函数的导数83

2.4.3 相关变化率85

习题2.487

2.5 函数的微分88

2.5.1 微分概念88

2.5.2 微分的几何意义90

2.5.3 基本初等函数的微分公式90

2.5.4 弧微分92

2.5.5 微分在近似计算中的应用93

习题2.594

总习题295

第3章 微分中值定理与导数的应用97

3.1 微分中值定理97

3.1.1 费马引理97

3.1.2 罗尔中值定理97

3.1.3 拉格朗日中值定理98

3.1.4 柯西中值定理100

习题3.1102

3.2 洛必达法则103

3.2.1 0/0型不定式103

3.2.2 ∞/∞型不定式的极限105

3.2.3 其他类型不定式的极限105

习题3.2108

3.3 泰勒公式109

3.3.1 泰勒公式的几种形式109

3.3.2 泰勒公式的证明和应用112

习题3.3114

3.4 函数的单调性与极值最值114

3.4.1 函数的单调性114

3.4.2 函数的极值116

3.4.3 函数的最值119

习题3.4121

3.5 曲线的凹凸性与拐点122

3.5.1 曲线的凹凸性122

3.5.2 曲线的拐点124

习题3.5126

3.6 函数图形的描绘126

习题3.6128

3.7 曲率129

3.7.1 曲率的概念129

3.7.2 曲率圆和曲率半径131

习题3.7132

总习题3132

第4章 不定积分136

4.1 不定积分的概念与性质136

4.1.1 原函数与不定积分136

4.1.2 基本积分表139

4.1.3 不定积分的性质140

习题4.1143

4.2 不定积分的换元积分法144

4.2.1 不定积分的第一类换元积分法144

4.2.2 不定积分的第二类换元积分法150

习题4.2156

4.3 不定积分的分部积分法157

习题4.3162

4.4 有理函数与可化为有理函数的积分举例162

4.4.1 有理真分式与部分分式162

4.4.2 有理函数的积分举例163

4.4.3 可化为有理函数的积分举例165

习题4.4168

总习题4169

第5章 定积分171

5.1 定积分的概念171

5.1.1 定积分问题举例171

5.1.2 定积分的定义与几何意义174

5.1.3 定积分的基本性质176

习题5.1181

5.2 微积分学基本公式181

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系182

5.2.2 变上限函数的导数与原函数存在定理182

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式184

习题5.2187

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法188

5.3.1 定积分的换元积分法188

5.3.2 定积分的分部积分法192

习题5.3195

5.4 广义积分196

5.4.1 无限区间上的广义积分196

5.4.2 无界函数的广义积分199

5.4.3 伽马函数简介201

习题5.4203

总习题5204

第6章 定积分的应用206

6.1 定积分的微分元素法206

6.2 定积分的几何应用207

6.2.1 平面图形的面积207

6.2.2 立体图形的体积210

6.2.3 平面曲线的弧长213

6.2.4 旋转曲面的面积215

习题6.2216

6.3 定积分的物理应用217

6.3.1 变力沿直线所做的功217

6.3.2 液压力（侧压力）218

6.3.3 万有引力219

习题6.3220

6.4 定积分的经济应用221

6.4.1 经济总量与边际函数221

6.4.2 收益流的现值与将来值223

习题6.4225

总习题6225

第7章 常微分方程227

7.1 微分方程的基本概念227

习题7.1229

7.2 一阶微分方程及其解法230

7.2.1 可分离变量的微分方程230

7.2.2 齐次方程232

7.2.3 一阶线性微分方程233

7.2.4 伯努利方程237

习题7.2238

7.3 可降阶的高阶微分方程240

7.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程240

7.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程240

7.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程242

习题7.3244

7.4 高阶线性微分方程解的结构244

7.4.1 函数组的线性相关与线性无关244

7.4.2 齐次线性微分方程解的结构245

7.4.3 非齐次线性微分方程解的结构246

习题7.4247

7.5 常系数齐次线性微分方程247

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程247

7.5.2 n阶常系数齐次线性微分方程250

习题7.5251

7.6 常系数非齐次线性微分方程252

7.6.1 f（x）=P（x）eλx型252

7.6.2 f（x）=eλx [Pι（x）cosωx＋Pn（x）sinωx]型254

习题7.6256

总习题7256

习题答案与提示258

附录1 三角函数公式277

附录2 二阶和三阶行列式简介279

附录3 几种常用的曲线283

附录4 积分表286