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第一章 常微分方程初值问题的数值解法1

§1 引论1

1.1 一阶常微分方程初值问题1

1.2 Euler法1

1.3 线性差分方程5

1.4 Gronwall不等式9

习题10

§2 线性多步法10

2.1 数值积分法11

2.2 待定系数法17

2.3 预估-校正算法19

2.4 多步法的计算问题21

习题21

§3 相容性、稳定性和误差估计22

3.1 局部截断误差和相容性22

3.2 稳定性23

3.3 收敛性和误差估计28

习题29

§4 单步法和Runge-Kutta（龙格-库塔）法30

4.1 Ta|ylor展开法30

4.2 单步法的稳定性和收敛性31

4.3 Runge-Kutta法33

习题37

§5 绝对稳定性和绝对稳定域38

5.1 绝对稳定性38

5.2 绝对稳定域40

5.3 应用例子41

习题44

§6 一阶方程组和刚性问题44

6.1 对一阶方程组的推广44

6.2 刚性问题46

6.3 A稳定性48

6.4 数值例子50

*§7 外推法51

7.1 多项式外推51

7.2 对初值问题的应用53

7.3 用外推法估计误差53

习题54

第二章 椭圆型方程的有限差分法55

§1 差分逼近的基本概念55

§2 一维差分格式60

2.1 直接差分化60

2.2 有限体积法62

2.3 待定系数法65

2.4 边值条件的处理66

习题67

§3 矩形网的差分格式67

3.1 五点差分格式68

3.2 边值条件的处理72

3.3 极坐标形式的差分格式74

习题75

§4 三角网的差分格式76

习题80

*§5 极值定理和敛速估计80

5.1 差分方程80

5.2 极值定理83

5.3 五点格式的敛速估计84

习题85

§6 迭代法86

6.1 一般迭代法89

6.2 SOR法（逐次超松弛法）91

习题93

§7 交替方向迭代法94

习题98

§8 预处理共轭梯度法98

8.1 共轭梯度法98

8.2 预处理共轭梯度法100

习题104

§9 数值例子104

第三章 抛物型方程的有限差分法107

§1 最简差分格式107

习题112

§2 稳定性与收敛性113

2.1 稳定性概念113

2.2 判别稳定性的直接估计法（矩阵法）115

2.3 收敛性与敛速估计119

习题121

§3 Fourier方法121

习题127

§4 判别差分格式稳定性的代数准则127

习题132

*§5 变系数抛物方程132

习题136

§6 分数步长法136

6.1 ADI法137

6.2 预-校法139

6.3 LOD法140

习题141

§7 数值例子141

7.1 一维抛物方程的初边值问题141

7.2 二维抛物方程的初边值问题143

7.3 含对流项的抛物方程145

第四章 双曲型方程的有限差分法150

§1 波动方程的差分逼近150

1.1 波动方程及其特征150

1.2 显格式151

1.3 稳定性分析153

1.4 隐格式157

1.5 数值例子157

习题158

§2 一阶线性双曲方程组159

2.1 双曲型方程组及其特征159

2.2 Cauchy问题、依存域、影响域和决定域162

2.3 初边值问题164

习题165

§3 初值问题的差分逼近166

3.1 迎风格式166

3.2 积分守恒差分格式169

3.3 粘性差分格式171

3.4 其他差分格式173

习题174

§4 初边值问题和对流占优扩散方程175

4.1 初边值问题175

4.2 对流占优扩散方程177

4.3 数值例子179

习题181

第五章 边值问题的变分形式与Ritz-Galerkin法183

§1 二次函数的极值183

习题185

§2 Sobolev空间初步185

2.1 弦的平衡185

2.2 一维区间上的Sobolev空间Hm（I）187

2.3 平面域上的Sobolev空间Hm（G）191

习题192

§3 两点边值问题192

3.1 极小位能原理192

3.2 虚功原理197

习题198

§4 二阶椭圆边值问题198

4.1 极小位能原理198

4.2 自然边值条件202

4.3 虚功原理203

习题204

§5 Ritz-Galerkin方法205

习题211

§6 谱方法211

6.1 三角函数逼近212

6.2 Fourier谱方法214

6.3 拟谱方法（配置法）218

第六章 Galerkin有限元法221

§1 两点边值问题的有限元法221

1.1 从Ritz法出发222

1.2 从Galerkin法出发226

1.3 收敛性和误差估计229

习题231

§2 一维高次元231

2.1　一次元（线性元）232

2.2 二次元232

2.3 三次元234

习题237

§3 解二维问题的矩形元237

3.1 Lagrange型公式237

3.2 Hermite型公式240

习题242

§4 三角形元242

4.1 面积坐标及有关公式243

4.2 Lagrange型公式245

4.3 Hermite型公式246

习题247

*§5 曲边元和等参变换247

§6 二阶椭圆方程的有限元法252

6.1 有限元方程的形成252

6.2 矩阵元素的计算253

6.3 边值条件的处理255

6.4 举例：Poisson方程的有限元法257

6.5 数值例子260

习题262

*§7 多重网格法262

7.1 差分形式的二重网格法263

7.2 有限元形式的二重网格法266

7.3 多重网格迭代和套迭代技术267

§8 初边值问题的有限元法268

8.1 热传导方程269

8.2 波动方程271

名词索引273

参考文献277